Onde começa a matemática?

Georg Cantor (1845-1918) introduziu uma grande inovação em matemática. Ele considerou conjuntos infinitos e suas quantidades de elementos tão dignos de um tratamento matemático quanto os conjuntos finitos e os números naturais. Isso causou a ira de alguns matemáticos, como Leopold Kronecker (1823-1891) mas, em compensação, outros ficaram felizes porque a teoria de Cantor forneceu uma demonstração trivial da existência de números transcendentes.

Considere um polinômio com coeficientes racionais, isto é, coeficientes que são frações. Uma raiz desse polinômio é chamada número algébrico. Assim, um número transcendente — aquele que não é algébrico — é um número que não é raiz de nenhum polinômio com coeficientes fracionários. Por exemplo, o número π é um número transcendente (isso não é fácil de se demonstrar!) pois ele não é raiz de nenhum polinômio cujos coeficientes sejam frações. A constante e de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783), famosa base dos logaritmos naturais, também é transcendente (esse é mais fácil de se demonstrar, mas não é trivial). Cantor descobriu uma demonstração quase que trivial de que o infinito dos números algébricos é o infinito dos naturais — o menor dos infinitos. Logo o infinito dos transcendentes é maior do que o infinito dos algébricos pois a totalidade dos números reais é o infinito das partes dos naturais. Assim, conclui-se imediatamente que existem transcendentes. E mais: existem transcendentes em quantidade maior do que a quantidade de algébricos!

Cantor estudava problemas de séries trigonométricas e seu pensamento sobre séries de números reais o levou à idéia de comparar quantidades infinitas de números. Cantor inventou a potência de um conjunto, isto é, “sua quantidade de elementos”. Ele logo percebeu que a noção de potência de conjuntos infinitos generalizava a noção de números naturais usados no dia a dia para contagens de objetos. Ao levar adiante suas idéias sobre “números transfinitos”, Cantor acabou criando a Teoria dos Conjuntos. A Teoria dos Conjuntos de Cantor causou um terremoto na matemática da época. A teoria de Cantor, mesmo sendo aceita como ramo independente da matemática, passou a ocupar a posição da teoria dos fundamentos da matemática juntamente com a lógica.